泰勒公式圆舞曲

作词 : V.A.N.

作曲 : V.A.N.

演唱：初音未来、洛天依

同学你若想了解泰勒公式小秘密

请与我共荡漾在数学舞步

一个函数在邻域内无穷阶导数

就可用多项式表示它

泰勒公式用多项式表达一切函数

n阶导数除n的阶乘

再乘上x与x0作差的n次方

最后对上式从一到n逐项求和

带佩亚诺余项的泰勒公式

x与x0作差n次方的高阶无穷小

这便是近似函数带来误差

该误差无法被估算

但是还有带拉格朗日余项的泰勒公式

n+1阶导数除n+1的阶乘

再乘x与x0差的n+1次方

别忘了导数值在ξ（克西）处

如果在泰勒公式中取x0为0

那他就变成麦克劳林公式

以上为直接展开法泰勒公式

下面介绍间接展开法

e的x次方的泰勒展开

对x的n次方除n阶乘求和

1+x分之一的泰勒展开

对负x的n次方求和

较为复杂的sinx的泰勒展开

负一的n次方除2n+1阶乘

再乘上x的2n+1次方

最后对该式进行求和